该行为不构成诈骗罪。以下是详细分析：
首先，诈骗罪是指以非法占有为目的，使用欺骗方法，骗取数额较大的公私财物的行为。其构成要件主要包括：行为人实施欺骗行为，使对方产生错误认识，对方基于错误认识处分财产，行为人或者第三者获得财产，被害人遭受财产损失，且责任年龄和责任能力方面也要符合相关要求。
在此案例中，44岁的刘某并非老板，无固定职业，他偶然结识了18岁的吴某，并见其相貌姣好，于是提出可每月5万元包养她。然而，刘某本身并没有钱，他使用的是冥币进行欺骗。但关键在于，刘某并没有直接将冥币作为真实货币交付给吴某，而是将其偷偷放在了吴某的抽屉里。
欺骗行为的认定：虽然刘某有欺骗的意图，但他并没有直接通过言语或行为使吴某相信他交付的是真实货币。吴某在接收“钱款”时并未在场，也没有直接看到刘某交付的是冥币。因此，从欺骗行为的直接性上来看，刘某的欺骗行为并不明显。
错误认识的产生：吴某是在刘某离开后，才发现“钱款”实际上是冥币。这表明，吴某在接收“钱款”时并没有产生错误认识，而是在事后才发现被骗。
基于错误认识处分财产：由于吴某在接收“钱款”时并没有产生错误认识，因此她并没有基于错误认识处分自己的财产。刘某也没有通过欺骗手段使吴某交付任何财物或做出其他财产性处分。
财产损失与获得：虽然吴某最终遭受了情感上的伤害和可能的道德风险，但从法律角度来看，她并没有遭受直接的财产损失。刘某也没有通过欺骗手段获得任何财物。
综上所述，虽然刘某的行为具有欺骗性，但由于他并没有直接通过欺骗手段使吴某产生错误认识并基于该错误认识处分财产，因此该行为不符合诈骗罪的构成要件。
此外，值得注意的是，刘某的行为可能涉及其他法律问题，如违反治安管理处罚法等。公安机关还在进一步调查处理中，可能会根据调查结果对刘某采取相应的法律措施。
以上分析仅供参考，具体法律问题的判断和处理应以相关法律法规和司法解释为准。
